Témbongkeun sumber pikeun Cramér-Rao inequality

Dina [[statistik]], '''Ka-teusarua-an Cramér-Rao''', ngaran keur ngahargaan ka [[Harald Cram&eacute;r]] jeung [[Calyampudi Radhakrishna Rao]], ngagambarkeun wates luhur dina présisi éstimator statistis, dumasar kana [[Fisher information|informasi Fisher]].

Katangtuanna nyaéta [[Fisher information|informasi Fisher]] [[reciprocal|bulak balik]], <math>\mathcal{I}(\theta)</math>, paraméter <math>\theta</math>, mangrupa wates handap [[variance]] paraméter éstimator [[bias (statistics)|unbiased]] (dilambangkeun <math>\widehat{\theta}</math>).

:<math>
\mathrm{var} \left(\widehat{\theta}\right)
\geq
\frac{1}{\mathcal{I}(\theta)}
=
\frac{1}
{
 \mathrm{E}
 \left[
  \left[
   \frac{\partial}{\partial \theta} \log f(X;\theta)
  \right]^2
 \right]
}
</math>

Dina sababaraha kasus, taya unbiased éstimator kapanggih dina wates handapna.

Cramér-Rao inequality disebut ogé '''Cramér-Rao bounds''' (CRB) atawa '''Cramér-Rao lower bounds''' (CRLB) sabab dicokot tina wates handap variance <math>\widehat{\theta}</math>.

==Bukti==

Anggap [[variabel random]] ''X'', mibanda [[probability density function]] ''f(x,&theta;)''.   Di dieu ''T'' = ''t''(''X'') nyaéta [[statistic]] dipaké salaku [[estimator]] keur ''&theta;''.  Lamun ''V'' mangrupa [[score]], nyaéta

:<math>
V=\frac{\partial}{\partial\theta}\log f(X;\theta).
</math>

mangka [[expectation]] ''V'', ditulikeun ''E(V)'', sarua jeung.  Lamun urang nganggap [[covariance]] cov(''V'', ''T'') ''V'' sarta ''T'' urang mibanda cov(''V'', ''T'') = E(''VT'') sabab ekspektasi ''V'' sarua jeung zero.  Ngalegaan tina rumus ieu urang mibanda

:<math>
{\rm cov}(V,T)=E\left(
T\cdot\frac{\partial}{\partial\theta}\log f(X;\theta)
\right).
</math>
Ieu bisa dilegaan ku ngagunakeun identitas 
:<math>\frac{\partial}{\partial\theta}\log Q=\frac{1}{Q}\frac{dQ}{d\theta}
</math>

sarta harti ekspektasi nu dibérékeun, sanggeus nunda ''f''(''x''; &theta;),

:<math>
\int t(x)\left\{\frac{\partial}{\partial\theta} f(x;\theta)\right\}\, dx.
</math>

Ayeuna lamun turunan ditukerkeun ku integral, mangka ieu ngan sakadar turunan (wrt ''&theta;'') tina ekspektasi ''t''(''X''), atawa
 
:<math>\frac{\partial}{\partial\theta}E(T).</math>

Sabab ''T'' mangrupa unbiased, ekspektasi-na &theta;; we are left with 1.

[[Cauchy-Schwarz inequality]] nembongkeun yen

:<math>
{\rm var\ } T\times{\rm var\ } V \geq {\rm cov}(V,T)=1,</math>

mangka dina kasus ieu

:<math>
{\rm var\ }T \geq \frac{1}{{\rm var\ } V} = \frac{1}{I(\theta)}
</math>

di mana ''I(&theta;)'' mangrupa [[Fisher information]].  Ieu mangrupa kateusaruaan Cramér-Rao; aya di wates dina varian tina unbiased éstimators.

[[efficiency (statistics)|Efisiensi]] ''T'' dihartikeun ku

:<math>e(T)=\frac{1/I(\theta)}{{\rm var\ }T}</math>

atawa varian minimum nu mungkin keur unbiased éstimator dibagi ku varian nu sabenerna.  Mangka wates handap Cramér-Rao dibérékeun ku ''e''(''T'') &le; 1.

[[Kategori:Statistika]]