Sebaran gamma

Dina tiori probabiliti jeung statistik, sebaran gamma nyaéta probability distribution kontinyu. Probability density function bisa digambarkeun di watesan fungsi gamma:

$f(x)=x^{k-1}\frac{e^{-x/\theta }}{\mathrm{\Gamma }(k){\theta }^k}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x>0$

nu mana k > 0 nyaéta parameter bentuk jeung θ > 0 nyaéta parameter skala sebaran gamma.

Cumulative distribution function bisa ditembongkeun dina watesan incomplete gamma function,

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(u)du=\frac{\gamma (k,x/\theta )}{\mathrm{\Gamma }(k)}$

Nilai ekspektasi sarta varian tina variabel random gamma X nyaéta:

$\begin{array}{c}E(X)=k\theta \\ \\ \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=k{\theta }^2\end{array}$

Lamun $X_1$ mibanda sebaaran gamma mibanda paraméter $k_1$ jeung θ, sarta $X_2$ mibanda sebaran gamma mibanda paramater $k_2$ jeung θ, mangka $X_1+X_2$ mibanda sebaran gamma mibanda paraméter $k_1+k_2$ jeung θ.

Lamun k sarua jeung 1, sebaran gamma mangrupa sebaran eksponensial mibanda paraméter θ. Jumlah n variabel eksponensial, sakabéhna mibanda paraméter θ nu sarua, mangrupa variabel gamma nu mibanda paraméter n jeung θ.

Lamun k mangrupa integer, sebaran gamma mangrupa Erlang distribution (keur ngahargaan ka A.K. Erlang) sarta sebaran probabiliti waktu tunggu tina nu-k "datang" dina hiji-dimensi Poisson process nu mibanda intensitas 1/θ.

Lamun k mangrupa satengah-integer sarta θ = 2, mangka sebaran distribution mangrupa sebaran chi-kuadrat nu mibanda 2 k tingkat kabébasan.

Sebaran gamma mangrupa sebaran probabiliti infinitely divisible .

Sumber sejen

• R.V. Hogg and A.T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th edition. New York: Macmillan, 1978. (See Section 3.3.)