Sebaran chi-kuadrat

Keur satiap positip integer $k$, sebaran chi-kuadrat nu mibanda k tingkat kabebasan nyaéta probability distribution variabel acak

$X=Z_1^2+\cdots +Z_k^2$

nu mana Z₁, ..., Z_k mangrupa variabel normal bebas, masing-masing nilai ekspektasi 0 jeung varian 1. Sebaran ieu biasa ditulis

$X\sim {\chi }_k^2$

Lamun $p$ watesan linier homogen bébas ditumpukeun dina ieu variabel, kayaan sebaran $X$ dina watesan ieu nyaéta ${\chi }_{k-p}^2$, dipastikeun salaku watesan "tingkat kabebasan". Characteristic function sebaran Chi-kuadrat nyaéta

$\varphi (t)=(1-2it{)}^{k/2}.$

Sebaran chi-kuadrat mibanda aplikasi numeris dina kaputusan statistik, contona dina tes chi-kuadrat jeung estimasi varian. Ieu bisa diasupkeun kana masalah estimasi méan dina populasi sebaran normal jeung masalah estimasi slope dina garis regression ku aturan dina sebaran-t student. Ieu diasupkeun kana sakabéh masalah analisa varian ku aturan dina sebaran-F, nu mangrupa sebaran perbandingan dua chi-kuadrat variabel acak.

Rumus probability density function nyaéta

$p_k(x)=\frac{(1/2{)}^{k/2}}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}\text{ for }x>0$

jeung p_k(x) = 0 keur x≤0. Di dieu Γ ngalambangkeun fungsi gamma.

Pendekatan normal

Lamun $X\sim {\chi }_k^2$, saterusna $k$ nuju ka takterhingga, sebaran $X$ nuju ka normal. Sanajan kitu, kacenderunganna lalaunan (skewness nyaéta $8/k$ jeung kurtosis nyaéta $12/k$) sarta dua transpormasi umumna diperhatoskeun, unggal pamarekannormal leuwih gancang tinimbang $X$ sorangan:

Fisher nembongkeun yén $\sqrt{2X}$ ngadeukeutan sebaran normal nu mibanda méan $\sqrt{2k-1}$ jeung unit varian.

Wilson and Hilferty dina taun 1931 nembongkeun yén $\sqrt[3]{X/k}$ nyaéta pamarekansebaran normal nu mibanda méan $1-2/(9k)$ jeung varian $2/(9k)$.

Nilai ekspektasi tina variabel random mibanda sebaran chi-kuadrat nu mibanda k tingkat kabébasan k jeung varian nyaéta 2k. Median dina ieu kaayaan dideukeutan ku

$k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}.$

Catetan yén 2 tingkat kabébasan nuju kana sebaran eksponensial.

Sebaran chi-kuadrat dina kasus husus nyaéta sebaran gamma.

Tempo Teorema Cochran.