Téoréma Cochran

Dina statistika, téoréma Cochran digunakeun dina analisis varian.

Anggap U₁, ..., U_n mangrupa standar variabel random bebas nu kasebar normal, sarta dina bentuk identitas

$\sum _{i=1}^n{U}_i^2=Q_1+\cdots +Q_k$

bisa dituliskeun yén unggal Q_i nyaéta jumlah kuadrat kombinasi liniér tina U. Mangka lamun

$r_i+\cdots +r_k=n$

nu mana r_i mangrupa rangking tina Q_i, téorema Cochran nangtukeun yén Q_i bébas sarta Q_i mibanda sebaran chi-kuadrat nu mibanda tingkat kabebasan r_i.

Téoréma Cochran mangrupa konversi téoréma Fisher.

Conto

Lamun X₁, ..., X_n mangrupa variabel random bébas nu kasebar normal mibanda méan μ sarta simpangan baku σ mangka

$U_i=(X_i-\mu )/\sigma$

mangrupa standar normal keur unggal i.

Ieu mungkin keur nulis

$\sum U_i^2=\sum {\left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma }\right)}^2+n{\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }\right)}^2$

(di dieu, jumlahna ti 1 nepi ka n, dumasar kana observasi). Keur nempo ieu identitas, kalikeun ku $\sigma$ sarta catet yen

$\sum (X_i-\mu {)}^2=\sum (X_i-\bar{X}+\bar{X}-\mu {)}^2$

sarta legaan keur manggihkeun

$\sum (X_i-\bar{X}{)}^2+\sum (\bar{X}-\mu {)}^2+2\sum (X_i-\bar{X})(\bar{X}-\mu ).$

Watesan katilu sarua jeung nol sabab ieu angger kana waktu

$\sum (\bar{X}-X_i),$

sarta watesan kadua ngan watesan n identik nu ditambahkeun babarengan.

Kombinasi di luhur ngahasilkeun (sarta dibagi ku σ²), urang mibanda:

$\sum {\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2=\sum {\left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma }\right)}^2+n{\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }\right)}^2=Q_1+Q_2.$

Ayeuna rengking Q₂ ngan 1 (ieu mangrupa kuadrat tina hiji kombinasi linier variabel normal standar). Rengking Q₁ bisa ditembongkuen jadi n − 1, sarta kondisi téorema Cochran kapanggih.

Téorema Cochran netepkeun yén Q₁ and Q₂ mangrupa bébas, mibanda sebaran chi-kuadrat n − 1 sarta 1 tingkat kabébasan.

Ieu nembongkeun yén sampel méan sarta sampel varian bébas; sarta

$(\bar{X}-\mu {)}^2\sim \frac{{\sigma }^2}{n}{\chi }_1^2.$

Keur estimasi varian &sigma², hiji éstimator nu biasa digunakeun nyaéta

$\widehat{{\sigma }^2}=\frac{1}{n}\sum {(X_i-\bar{X})}^2$.

Téorema Cochran nembongkeun yen

$\widehat{{\sigma }^2}\sim \frac{{\sigma }^2}{n}{\chi }_{n-1}^2$

nu nembongkeun yén nilai ekspektasi ${\hat{\sigma }}^2$ nyaéta σ²n/(n − 1).

Dua sebaran ieu mangrupa proporsi kana varian sabenerne tapi teu dipikanyaho σ²; mangka ieu rasio mangrupa σ² bébas sabab duana bébas, mangka urang miboga

$\frac{{(\bar{X}-\mu )}^2}{\frac{1}{n}\sum {(X_i-\bar{X})}^2}\sim F_{1,n}$

nu mana F_1,n mangrupa sebaran-F nu mibanda 1 sarta n tingkat kabébasan (tempo ogé sebaran-t student).