Sebaran béta

Dina tiori probabiliti jeung statistik, sebaran beta nyaéta probability distribution kontinyu dina probability density function nu dihartikeun dina interval [0, 1]:

$f(x)=[\text{constant}]\cdot x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}.$

nu mana a jeung b mangrupa paraméter nu kudu leuwih gedé ti nol.

Lamun "angger" kaasup sacara eksplisit, densiti ditempokeun saperti:

$f(x)=\frac{x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{a-1}(1-u{)}^{b-1}du}=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}=\frac{1}{B(a,b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}$

nu mana Γ jeung B nyaéta fungsi gamma jeung fungsi beta.

Kasus husus sebaran beta, lamun a = 1 jeung b = 1, nyaéta sebaran seragam standar.

Nilai ekspektasi jeung varian beta variabel random X nu mibanda paraméter a jeung b dirumuskeun ku:

$\text{E}(X)=\frac{a}{a+b},$

$\text{var}(X)=\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}.$

Di bagéan séjén, lamun nilai ekspektasi jeung varian beta variabel random X dipikanyaho, paraméter a jeung b diitung maké rumus,k.:

$a=\text{E}(X)(\frac{\text{E}(X)}{\text{var}(X)}[1-\text{E}(X)]-1),$

$b=a\frac{1-\text{E}(X)}{\text{E}(X)}$

nu mana 0 < E(X) < 1 jeung 0 < var(X) < E(X) (1 − E(X)).